Statistischer Hypothesentest vom Mittelwert

Verlauf

1. Erstellen der Nullhypothese $H_0$ (IMMER eine Gleichung) und der Alternativhypothese $H_1$

2. Aussuchen des richtigen Modelles

3. Festlegen des Irrtumniveaus $a$

4. Ermitteln des kritischen Wertes, ab dem die Nullhypothese abgelehnt wird

5. Akzeptieren oder ablehnen der Nullhypothese

Bierflaschenabfüllungsproblem

Die Brauerei hat von dem Gerücht gehört. Also beschloss sie, ihre Ware zu testen zur Konfidenzniveau von 99%. Sie maß 25 Flaschen und erhielt einen Mittelwert von 224mL mit einer Standardabweichung von 9mL.

Schritt 1)

$H_0$ : Die durchschnittliche Füllung beträgt 330mL ( $\mu=330$)

$H_1$ : Die durchschnittliche Füllung beträgt weniger als 330 ml. ( $\mu<330$, einseitiger Test auf der linken Seite)

Schritt 2)

Normalverteilt, Stichprobe ist klein ($25<30$), $\sigma$ immer noch unbekannt

$\Longrightarrow$ studentsche $t$-Verteilung mit $24$ Freiheitsgraden

Schritt 3)

Setzen wir $a=0.01$

Schritt 4)

$\mathbb{P}(H_0\text{ ablehnen}|H_0 \text{ ist richtig}) = a\qquad$ (Fehler 1. Art )

$\Longleftrightarrow \mathbb{P}\left(\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)/S_x \leq r\right)=a$

Da $\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)/S_x\sim T_{24}$, folgt

$r = -2,\!492159473$

from scipy.stats import t
T24 = t(df=24)
r = T24.ppf(0.01); r

-2.4921594731575762

Schritt 5) Wir berechnen den Wert aus unserer Stichprobe:

$\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)/S_X = \sqrt{25}(224-330)/9 = -10/3$

bild.show(figsize=[9,5])